Comment ça marche
Un exposant (ou puissance) indique combien de fois on multiplie un nombre par lui-même. 2³ signifie 2 × 2 × 2 = 8. La base est le nombre multiplié ; l'exposant, le nombre de copies. Ça se généralise bien au-delà des entiers positifs : exposants négatifs donnent des inverses (2⁻³ = 1/8), zéro donne 1 (toute base non nulle⁰ = 1), exposants fractionnaires donnent des racines (2^(1/2) = √2 ≈ 1,414, racine carrée ; 8^(1/3) = ∛8 = 2, racine cubique). Les décimaux marchent aussi : 2^2,5 = 2² · 2^0,5 = 4 · √2 ≈ 5,657.
Les règles d'exposants rendent la manipulation algébrique systématique. Même base, multiplication : on additionne les exposants (2³ · 2⁴ = 2⁷). Même base, division : on soustrait (2⁷ / 2³ = 2⁴). Puissance d'une puissance : on multiplie ((2³)² = 2⁶). Même exposant, bases différentes : on factorise ((ab)² = a² · b²; a²/b² = (a/b)²). Permet de simplifier 8^(2/3) sans calculatrice : (8^(1/3))² = 2² = 4.
Points pratiques. (1) Pour des résultats très grands ou très petits, ce calculateur passe en notation scientifique (1,234 × 10²³ plutôt qu'un nombre à 24 chiffres) car la plupart des contextes ne manipulent pas des nombres bruts aussi grands. (2) Bases négatives avec exposants non entiers sont délicates — (-8)^(1/3) est techniquement −2 (racine cubique réelle) mais via les règles complexes donne 1 + 1,732i. La plupart des calculatrices (celle-ci comprise) renvoient des résultats réels quand c'est possible et NaN pour des cas comme (-1)^0,5. (3) Pour la croissance/décroissance exponentielle dans le temps (intérêts composés, population, radioactivité), utilisez les calculateurs dédiés.
La formule
base est le nombre multiplié. exp est l'exposant. Les deux peuvent être n'importe quel réel — positif, négatif, entier, fraction ou décimal. Pour exp entier positif, résultat = base × base × … (exp copies). Pour les autres cas, les lois ci-dessus généralisent.
Exemple de calcul
- Calculer 2¹⁰ (référence courante de puissance de 2).
- 2¹⁰ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 1024.
- Exposant négatif : 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125. Fractionnaire : 27^(1/3) = ∛27 = 3.
Questions fréquentes
Pourquoi tout nombre à la puissance 0 vaut 1 ?
C'est la seule définition cohérente avec les lois des exposants. Précisément, aᵐ / aᵐ = 1 (tout divisé par lui-même), mais aussi aᵐ / aᵐ = aᵐ⁻ᵐ = a⁰ par la règle de soustraction. Donc a⁰ doit valoir 1. Seule exception : 0⁰, techniquement indéterminé — différents contextes (combinatoire, calcul, programmation) le définissent différemment, souvent comme 1 par convention.
Quel lien entre exposants et logarithmes ?
Ils sont inverses. Si bˣ = y, alors logᵦ(y) = x. L'exponentiation répond à « qu'est-ce qu'on obtient ? » ; les logarithmes, « quel exposant faut-il ? ». Concrètement, log₁₀(1000) = 3 car 10³ = 1000. Les logarithmes servent à résoudre « 2ˣ = 50 » — réponse : x = log₂(50) ≈ 5,64. Ils mesurent aussi des taux de croissance sur de nombreux ordres de grandeur (décibels, pH, magnitudes sismiques sont logarithmiques). Voir le calculateur de logarithme.
Pourquoi le calculateur affiche-t-il « infini » ou « NaN » parfois ?
« Infini » apparaît quand le résultat dépasse le nombre maximal représentable (~10³⁰⁸ en IEEE 754 double). Par exemple 2^1024 déborde. « NaN » (Not a Number) apparaît pour les cas mathématiquement indéfinis : 0⁰, (-1)^0,5 (nécessiterait les complexes), ou 0^(-1) (1/0, division par zéro). Pour des nombres vraiment énormes, passez au calcul symbolique (Wolfram Alpha) ou à des bibliothèques de précision arbitraire ; les flottants standard du JavaScript navigateur ne les représentent pas.