Comment ça marche
Le plus grand commun diviseur (PGCD) est le plus grand entier qui divise tous les nombres de la liste sans reste. Le plus petit commun multiple (PPCM) est le plus petit entier positif que tous les nombres de la liste divisent. Utilisé pour simplifier des fractions (diviser numérateur et dénominateur par le PGCD) et trouver des dénominateurs communs (PPCM des dénominateurs). Collez une liste d'entiers et le calculateur renvoie les deux d'un coup.
La formule
a, b : entiers positifs (les signes sont ignorés ; Euclide fonctionne sur |a|, |b|). L'algorithme remonte aux Éléments d'Euclide (~300 av. J.-C.) ; c'est l'un des plus anciens algorithmes non triviaux toujours en usage quotidien. La propriété de réduction par paires — pgcd(a, b, c) = pgcd(pgcd(a, b), c) — permet de l'étendre à n'importe quel nombre d'entrées sans réécrire la boucle.
Exemple de calcul
- Nombres : 12, 18, 24
- PGCD : pgcd(12, 18) = 6, puis pgcd(6, 24) = 6 → PGCD = 6
- PPCM : ppcm(12, 18) = 36, puis ppcm(36, 24) = 72 → PPCM = 72
- 12 × 18 × 24 = 5184. PGCD × PPCM = 6 × 72 = 432. La relation a × b = pgcd(a,b) × ppcm(a,b) ne se généralise proprement qu'à deux nombres.
Questions fréquentes
Comment simplifier une fraction avec cela ?
Calculez le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis divisez les deux par ce nombre. Pour 18/24 : PGCD(18, 24) = 6, donc 18/24 = (18÷6)/(24÷6) = 3/4. La fraction est totalement simplifiée quand PGCD = 1 — on ne peut plus réduire.
Quand a-t-on besoin du PPCM ?
Surtout pour additionner ou comparer des fractions de dénominateurs différents : le PPCM des dénominateurs donne le plus petit dénominateur commun. Utile aussi pour la planification (« quand ces deux événements se réalignent-ils ? »), les rapports d'engrenages et la synchronisation de processus périodiques.
Le PGCD fonctionne-t-il avec des nombres négatifs ou zéro ?
Le calculateur retire les signes avant Euclide, donc −12 et 12 sont traités à l'identique. PGCD(0, n) vaut |n| par convention, puisque tout entier divise 0. Le PPCM faisant intervenir 0 vaut 0 par convention (le seul multiple commun de tout entier y compris 0 est 0).