Comment ça marche
Une équation du second degré a la forme ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0. L'outil standard pour la résoudre est la formule quadratique, qui fonctionne pour toute équation, racines entières, décimales pénibles ou complexes. Saisissez les trois coefficients et le calculateur renvoie les racines, le discriminant (qui indique d'un coup d'œil la forme de la réponse) et le sommet de la parabole — utile pour le tracé ou pour trouver les extrema.
La formule
a, b, c sont les coefficients de x², x¹ et x⁰. Le signe du discriminant indique la forme de la solution : Δ > 0 → deux racines réelles distinctes ; Δ = 0 → une racine réelle double (la parabole touche l'axe des x en un seul point) ; Δ < 0 → deux racines complexes conjuguées (la parabole ne croise pas l'axe des x). Le sommet est le point d'inflexion de la parabole — minimum si a > 0, maximum si a < 0.
Exemple de calcul
- Résoudre x² − 3x + 2 = 0. Coefficients : a = 1, b = −3, c = 2.
- Discriminant = (−3)² − 4·1·2 = 9 − 8 = 1. Positif, donc deux racines réelles.
- x = (3 ± √1) / 2 → x₁ = 2, x₂ = 1. Sommet en (1,5 ; −0,25).
Questions fréquentes
Et si mon équation n'a pas de solutions réelles ?
Quand le discriminant est négatif, la parabole ne croise pas l'axe des x et les racines sont des nombres complexes — une partie réelle plus ou moins une partie imaginaire. Le calculateur les affiche sous la forme a ± bi. Pour un problème de physique ou de géométrie, cela indique souvent un modèle légèrement faux (par exemple demander quand quelque chose retombera alors qu'il s'échappe) ; en mathématiques pures, ce sont les bonnes solutions.
Pourquoi le calculateur affiche-t-il « Pas une équation du second degré » quand je mets a = 0 ?
Avec a = 0, le terme x² disparaît et l'équation devient bx + c = 0, qui est linéaire. La formule quadratique divise par 2a — a = 0 la fait diverger. Si l'équation est vraiment linéaire, résolvez-la directement : x = −c / b.
À quoi sert le discriminant ?
C'est un test rapide sur la forme de la solution avant de la calculer. Δ > 0 → deux racines réelles, la parabole coupe l'axe des x deux fois ; Δ = 0 → racine double (la parabole est tangente à l'axe) ; Δ < 0 → racines complexes (la parabole ne touche pas l'axe). En physique, le signe du discriminant répond souvent à une question oui/non — un projectile atteindra-t-il sa cible — sans calculer les racines.
D'où vient la formule quadratique ?
De la « complétion du carré ». On part de ax² + bx + c = 0, on divise par a, puis on ajoute (b/2a)² des deux côtés pour rendre le membre en x un carré parfait : (x + b/2a)² = (b² − 4ac) / (4a²). Racine carrée, on isole x. La technique remonte aux tablettes babyloniennes (~2000 av. J.-C.) ; la forme symbolique moderne vient de l'algèbre européenne du XVIIᵉ siècle.