Cómo funciona
Cualquier ecuación de la forma ax² + bx + c = 0 (con a ≠ 0) se resuelve con la fórmula cuadrática: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. La expresión bajo la raíz, b² − 4ac, se llama discriminante (Δ) y te indica qué tipo de soluciones esperar antes de terminar el cálculo. Si Δ > 0 hay dos raíces reales distintas; si Δ = 0 hay una raíz real doble (la parábola toca el eje x en un punto); si Δ < 0 las raíces son complejas conjugadas a ± bi (la parábola no corta el eje x). La calculadora maneja los tres casos y además calcula el vértice de la parábola en x = −b/(2a), que es su máximo (si a < 0) o mínimo (si a > 0). El vértice está sobre el eje de simetría, en el punto medio entre las dos raíces — útil para graficar u optimizar.
La fórmula
a, b, c — los coeficientes de x², x y el término constante, respectivamente. El coeficiente principal a debe ser distinto de cero (si no, la ecuación es lineal, no cuadrática). El signo ± en la fórmula da las dos raíces en una sola expresión: + para x₁ y − para x₂. Cuando Δ < 0 la raíz cuadrada es imaginaria, se escribe i·√|Δ|, y las dos raíces forman un par complejo conjugado.
Ejemplo de cálculo
- Resolver x² − 3x + 2 = 0 → a = 1, b = −3, c = 2.
- Δ = (−3)² − 4 · 1 · 2 = 9 − 8 = 1. Δ > 0 → dos raíces reales distintas.
- x = (3 ± 1) / 2 → x₁ = 2, x₂ = 1.
- Vértice en x = −b/(2a) = 3/2 = 1,5; y = (1,5)² − 3(1,5) + 2 = −0,25.
Preguntas frecuentes
¿Qué pasa si a = 0?
Entonces no es una ecuación cuadrática — se reduce a bx + c = 0, una lineal con la única solución x = −c/b (suponiendo b ≠ 0). La fórmula cuadrática se rompe porque dividirías por 2a = 0. La calculadora lo detecta y muestra un error. Si realmente tienes un problema lineal, despeja x a mano: resta c y divide por b.
¿Cómo leo las raíces complejas cuando Δ < 0?
Se escriben con la forma a + bi (o a − bi), donde a es la parte real, b la imaginaria e i = √(−1). Las dos raíces son siempre conjugadas: misma parte real, parte imaginaria con signo opuesto. Por ejemplo, si Δ = −16 y obtienes x₁ = 1 + 2i, entonces x₂ = 1 − 2i. Geométricamente la parábola está enteramente por encima (o por debajo) del eje x — no lo cruza, así que no hay x real que satisfaga la ecuación, pero sí dos números complejos.
¿Por qué la calculadora muestra también el vértice?
Porque la mayoría de problemas cuadráticos no van de "encontrar x donde y = 0", sino de la forma de la curva. El vértice es el punto más alto o más bajo de la parábola y aparece por todos lados: beneficio máximo (a < 0), coste mínimo (a > 0), altura máxima de una pelota lanzada, precio óptimo de un producto. Siempre está sobre el eje de simetría x = −b/(2a), justo en el punto medio entre las dos raíces si son reales. Así, el vértice te da el extremo, el discriminante te dice si la curva corta el eje x, y las raíces dónde lo hace.
¿Y el método de factorización, que parece más simple?
La factorización funciona perfecta cuando las raíces son racionales bonitas — x² − 5x + 6 se factoriza obvio como (x − 2)(x − 3), raíces 2 y 3 en segundos. Pero deja de funcionar con raíces irracionales (√2 o 1 + √3) o complejas. La fórmula cuadrática es el comodín universal: te da la respuesta por fea que sea. Consejo habitual: prueba la factorización si los números son pequeños y limpios; si no, tira de fórmula. La calculadora se ahorra la adivinanza y usa siempre la fórmula.