Comment ça marche
La formule de distance donne la distance en ligne droite (« euclidienne ») entre deux points dans un plan 2D. Elle découle directement du théorème de Pythagore appliqué au triangle rectangle dont les côtés sont la variation horizontale (x₂ − x₁) et verticale (y₂ − y₁) : l'hypoténuse diagonale est la distance cherchée. L'élévation au carré gère les différences négatives, et la racine carrée ramène le résultat aux mêmes unités que les coordonnées.
Elle se généralise trivialement aux dimensions supérieures. En 3D : distance = √(dx² + dy² + dz²) ; en n dimensions, on somme les différences au carré sur toutes les coordonnées puis on prend la racine. C'est pourquoi la « distance euclidienne » est la mesure de similarité par défaut en apprentissage automatique et statistique quand on a des vecteurs de caractéristiques — c'est juste la version multidimensionnelle de la même formule. D'autres métriques existent (Manhattan, Chebyshev, cosinus) pour des cas spécifiques, mais euclidienne est ce que les gens veulent dire par « distance » sans précision.
Pièges du monde réel : si vos coordonnées sont latitude/longitude, la distance euclidienne plane est fausse car la Terre est courbe — utilisez la formule de haversine qui calcule l'arc de grand cercle sur une sphère. À l'échelle urbaine (quelques kilomètres) l'erreur est petite ; à des centaines de kilomètres l'euclidienne sous-estime nettement la vraie distance géodésique. Idem pour toute surface courbe (globe, carte topographique, monde de jeu vidéo avec relief).
La formule
(x₁, y₁) et (x₂, y₂) sont les deux points. Élever au carré supprime le signe, donc la formule fonctionne quel que soit le point « premier ». La distance est toujours positive ou nulle ; elle vaut zéro uniquement si les deux points sont identiques.
Exemple de calcul
- Distance entre (1, 2) et (4, 8).
- dx = 4 − 1 = 3, dy = 8 − 2 = 6. d = √(9 + 36) = √45 ≈ 6,708.
- Pour (2, 3, 5) et (5, 7, 9) en 3D : d = √(3² + 4² + 4²) = √41 ≈ 6,403.
Questions fréquentes
L'ordre des points compte-t-il ?
Non. Comme les différences sont au carré, (x₂ − x₁)² et (x₁ − x₂)² sont égales. Distance de A à B = distance de B à A — c'est la propriété de symétrie de toute métrique de distance valide.
Quelle différence avec déplacement ou longueur d'arc ?
La distance (cette formule) est une ligne droite — le chemin le plus court possible. Le déplacement est un vecteur avec magnitude (la distance) et direction. La longueur d'arc est la distance le long d'une courbe ; toujours ≥ la distance rectiligne, égale seulement si la courbe est une droite. La distance de trajet réelle (« combien j'ai conduit ? ») est la longueur d'arc suivant le réseau routier, pas la distance rectiligne.
Ça marche pour latitude/longitude sur Terre ?
Pas vraiment. Les coordonnées lat/lon vivent sur une sphère courbée, donc la distance euclidienne plate est fausse, surtout sur de longues distances. Utilisez la formule de haversine, qui calcule l'arc de grand cercle sur une sphère. Sur de courtes distances (quelques km dans une ville), l'erreur est négligeable ; sur des centaines de km, l'euclidienne sous-estime nettement.