Comment ça marche
Toute équation de la forme ax² + bx + c = 0 (avec a ≠ 0) se résout par la formule quadratique : x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. L'expression sous la racine, b² − 4ac, s'appelle le discriminant (Δ) et indique le type de solutions attendues avant la fin du calcul. Si Δ > 0, deux racines réelles distinctes ; si Δ = 0, une racine réelle double (la parabole effleure l'axe des x) ; si Δ < 0, racines complexes conjuguées a ± bi (la parabole ne croise jamais l'axe des x). Le calculateur gère les trois cas et fournit aussi le sommet de la parabole en x = −b/(2a), maximum (si a < 0) ou minimum (si a > 0). Le sommet se trouve sur l'axe de symétrie, à mi-chemin entre les deux racines — pratique pour tracer ou optimiser.
La formule
a, b, c — les coefficients de x², x et le terme constant, respectivement. Le coefficient dominant a doit être non nul (sinon l'équation est linéaire, pas quadratique). Le signe ± dans la formule donne les deux racines en une seule expression : + pour x₁ et − pour x₂. Quand Δ < 0, la racine carrée est imaginaire, notée i·√|Δ|, et les deux racines forment une paire complexe conjuguée.
Exemple de calcul
- Résoudre x² − 3x + 2 = 0 → a = 1, b = −3, c = 2.
- Δ = (−3)² − 4 · 1 · 2 = 9 − 8 = 1. Δ > 0 → deux racines réelles distinctes.
- x = (3 ± 1) / 2 → x₁ = 2, x₂ = 1.
- Sommet en x = −b/(2a) = 3/2 = 1,5 ; y = (1,5)² − 3(1,5) + 2 = −0,25.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si a = 0 ?
Ce n'est plus une équation du second degré — elle se ramène à bx + c = 0, une équation linéaire dont la seule solution est x = −c/b (en supposant b ≠ 0). La formule quadratique ne marche pas, car on diviserait par 2a = 0. Le calculateur le détecte et affiche une erreur. Si votre problème est vraiment linéaire, isolez x à la main : retranchez c, divisez par b.
Comment lire les racines complexes quand Δ < 0 ?
Elles s'écrivent sous la forme a + bi (ou a − bi), où a est la partie réelle, b la partie imaginaire et i = √(−1). Les deux racines sont toujours conjuguées : même partie réelle, partie imaginaire de signes opposés. Par exemple, si Δ = −16 et qu'on obtient x₁ = 1 + 2i, alors x₂ = 1 − 2i. Géométriquement la parabole est entièrement au-dessus (ou en dessous) de l'axe des x — elle ne le coupe jamais, donc aucun x réel ne satisfait l'équation, mais deux nombres complexes le font.
Pourquoi le calculateur affiche-t-il aussi le sommet ?
Parce que la plupart des problèmes quadratiques ne se résument pas à « trouver x quand y = 0 » — ils portent sur la forme de la courbe. Le sommet est le point le plus haut ou le plus bas de la parabole et apparaît partout : bénéfice maximum (a < 0), coût minimum (a > 0), hauteur maximale d'une balle lancée, prix optimal d'un produit. Il se trouve toujours sur l'axe de symétrie x = −b/(2a), à mi-chemin entre les deux racines quand elles sont réelles. Le sommet donne l'extremum, le discriminant indique si la courbe coupe l'axe des x, les racines disent où.
Et la méthode plus simple en apparence : la factorisation ?
La factorisation marche parfaitement quand les racines sont rationnelles simples — x² − 5x + 6 se factorise évidemment en (x − 2)(x − 3), racines 2 et 3 en quelques secondes. Mais elle s'arrête net dès que les racines sont irrationnelles (√2 ou 1 + √3) ou complexes. La formule quadratique est le filet universel : elle donne la réponse, aussi moche soit-elle. Conseil classique : tentez la factorisation si les chiffres sont petits et propres, sinon prenez la formule. Le calculateur évite la devinette et utilise toujours la formule.