Wie es funktioniert
Ein Exponent (auch Potenz) gibt an, wie oft eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird. 2³ bedeutet 2 × 2 × 2 = 8. Die Basis ist die Zahl; der Exponent, wie viele Kopien. Das verallgemeinert weit über positive ganzzahlige Exponenten hinaus: negative Exponenten ergeben Reziproke (2⁻³ = 1/8), null ergibt 1 (jede nicht-null Basis⁰ = 1), gebrochene Exponenten ergeben Wurzeln (2^(1/2) = √2 ≈ 1,414, Quadratwurzel; 8^(1/3) = ∛8 = 2, Kubikwurzel). Dezimal-Exponenten funktionieren auch: 2^2,5 = 2² · 2^0,5 = 4 · √2 ≈ 5,657.
Potenzregeln machen algebraische Manipulation systematisch. Gleiche Basis, Multiplikation: Exponenten addieren (2³ · 2⁴ = 2⁷). Gleiche Basis, Division: subtrahieren (2⁷ / 2³ = 2⁴). Potenz einer Potenz: multiplizieren ((2³)² = 2⁶). Gleicher Exponent, verschiedene Basen: faktorisieren oder verteilen ((ab)² = a² · b²; a²/b² = (a/b)²). Erlaubt die Vereinfachung von 8^(2/3) ohne Rechner: (8^(1/3))² = 2² = 4.
Praktische Hinweise. (1) Bei sehr grossen oder sehr kleinen Ergebnissen wechselt der Rechner in wissenschaftliche Notation (1,234 × 10²³ statt einer 24-stelligen Zahl). (2) Negative Basen mit nicht-ganzzahligen Exponenten sind heikel — (-8)^(1/3) ist technisch −2 (reelle Kubikwurzel), aber über komplexe Zahlenregeln 1 + 1,732i. Die meisten Rechner (auch dieser) geben reelle Ergebnisse, wenn möglich, und NaN für Fälle wie (-1)^0,5. (3) Für exponentielles Wachstum/Zerfall über Zeit (Zinseszins, Population, Radioaktivität) nutzen Sie die dedizierten Rechner mit eingebauter Zeitformel.
Die Formel
Basis ist die Zahl, die multipliziert wird. exp ist der Exponent. Beide beliebige reelle Zahlen — positiv, negativ, ganz, gebrochen oder dezimal. Bei positiv-ganzem exp ist das Ergebnis Basis × Basis × … (exp Kopien); für andere Fälle verallgemeinern die Potenzgesetze.
Beispielrechnung
- Berechne 2¹⁰ (übliche Zweierpotenz-Referenz).
- 2¹⁰ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 1024.
- Negativer Exponent: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8 = 0,125. Gebrochen: 27^(1/3) = ∛27 = 3.
Häufig gestellte Fragen
Warum ergibt jede Zahl hoch 0 gleich 1?
Es ist die einzige mit den Potenzgesetzen konsistente Definition. Genauer: aᵐ / aᵐ = 1 (alles geteilt durch sich selbst), aber auch aᵐ / aᵐ = aᵐ⁻ᵐ = a⁰ nach der Subtraktionsregel. Also muss a⁰ = 1 sein. Einzige Ausnahme: 0⁰ ist technisch unbestimmt — verschiedene Kontexte (Kombinatorik, Analysis, Programmierung) definieren es unterschiedlich, oft konventionell als 1.
Wie hängen Exponenten und Logarithmen zusammen?
Sie sind Umkehrungen. Wenn bˣ = y, dann logᵦ(y) = x. Potenzieren beantwortet „Was kommt heraus?"; Logarithmen „Welcher Exponent ist nötig?". Konkret: log₁₀(1000) = 3, weil 10³ = 1000. Logarithmen lösen Gleichungen wie „2ˣ = 50" — Antwort: x = log₂(50) ≈ 5,64. Sie messen auch Wachstumsraten über viele Grössenordnungen (Dezibel, pH, Erdbebenmagnituden sind alle logarithmisch). Siehe Logarithmus-Rechner für die Umkehrrichtung.
Warum zeigt der Rechner manchmal „unendlich" oder „NaN"?
„Unendlich" erscheint, wenn das Ergebnis die maximale darstellbare Zahl (~10³⁰⁸ für IEEE 754 double) übersteigt. Z. B. läuft 2^1024 über. „NaN" (Not a Number) erscheint bei mathematisch unbestimmten Fällen: 0⁰, (-1)^0,5 (bräuchte komplexe Zahlen) oder 0^(-1) (1/0, Division durch null). Für wirklich riesige Zahlen wechseln Sie zu symbolischer Berechnung (Wolfram Alpha) oder Bibliotheken mit beliebiger Präzision; das Standard-JavaScript-Float kann sie nicht darstellen.