Wie es funktioniert
Die zwei häufigsten Dreiecksfragen in einem Werkzeug. Der Modus „Fläche aus den Seitenlängen" nimmt drei Seitenlängen und nutzt die Heron-Formel — keine Höhe oder Winkel nötig. Er klassifiziert das Dreieck (gleichseitig, gleichschenklig, ungleichseitig, rechtwinklig) und prüft, ob die drei Seiten überhaupt ein Dreieck bilden können. Der Modus „Rechtwinkliges Dreieck" nimmt die beiden Katheten und liefert via Satz des Pythagoras die Hypotenuse — Fläche und Umfang gibt es gratis dazu.
Die Formel
a, b, c sind die Seitenlängen. s ist der halbe Umfang. Damit die Heron-Formel eine reelle Zahl liefert, müssen die drei Seiten die Dreiecksungleichung erfüllen: Jede Seite muss kleiner sein als die Summe der beiden anderen. Im Rechtwinklig-Modus sind a und b die Katheten — der Rechner liefert die Hypotenuse, also die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel.
Beispielrechnung
- Ein 3-4-5-Dreieck. Im Flächen-Modus 3, 4, 5 eingeben.
- Halber Umfang s = 12 / 2 = 6. Fläche = √(6·3·2·1) = √36 = 6. Umfang = 12. Typ: rechtwinklig.
- Im Modus „Rechtwinkliges Dreieck" mit Katheten 3 und 4: Hypotenuse = √(9 + 16) = √25 = 5. Dasselbe Dreieck, andere Ausgangswerte.
Häufig gestellte Fragen
Warum zeigt der Rechner „Ungültig — die Seiten bilden kein Dreieck" an?
Wegen der Dreiecksungleichung: Die Summe je zweier Seiten muss strikt größer sein als die dritte. Versuchen Sie 1, 2, 5 — die längste Seite (5) ist größer als die Summe der anderen beiden (1 + 2 = 3). Ein reales Dreieck kann mit diesen Seitenlängen nicht existieren — drei Stäbe dieser Längen, Ende an Ende gelegt, würden sich nie schließen.
Funktioniert die Heron-Formel auch bei sehr langen, schmalen Dreiecken?
Ja, aber bei Fließkomma-Präzision aufpassen, wenn eine Seite fast der Summe der anderen beiden entspricht. Der Ausdruck s(s − a)(s − b)(s − c) wird zu einer winzigen positiven Zahl, die durch Underflow auf null fallen kann — dann ist die Fläche fälschlich 0. Für sehr schmale Dreiecke ist die stabilere Form √((a + b + c)(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c)) / 4. Unser Rechner nutzt die Standardform, die für Alltagsfälle in der Regel passt.
Wie finde ich die Fläche, wenn ich nur zwei Seiten und einen Winkel habe?
Mit der SAS-Formel: Fläche = ½ · a · b · sin(C), wobei C der Winkel zwischen den Seiten a und b ist. Im Rechner gibt es das noch nicht direkt (bräuchte einen Grad/Bogenmaß-Schalter), aber wenn man die dritte Seite über den Kosinussatz bestimmt (c² = a² + b² − 2ab·cos C), kann man a, b, c hier in den Flächen-Modus eingeben.
Warum wird ein 3-4-5-Dreieck als rechtwinklig und nicht als ungleichseitig klassifiziert?
Es ist technisch beides — drei verschiedene Seiten (also ungleichseitig) und ein 90°-Winkel (also rechtwinklig). Der Rechner wählt das spezifischere Label, weil „rechtwinklig" mehr Information liefert, wenn es zutrifft. Ein 5-5-7-Dreieck (gleichschenklig, nicht rechtwinklig) bekäme aus demselben Grund das Label „gleichschenklig".