Wie es funktioniert
Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte ganze Zahl, die jede Zahl der Liste restlos teilt. Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) ist die kleinste positive Zahl, in der jede Zahl der Liste aufgeht. Wird zum Kürzen von Brüchen (Zähler und Nenner durch den ggT teilen) und zum Finden gemeinsamer Nenner (kgV der Nenner) genutzt. Eine Zahlenliste einfügen und der Rechner liefert beides auf einmal.
Die Formel
a, b: positive ganze Zahlen (Vorzeichen werden entfernt; Euklid arbeitet auf |a|, |b|). Der Algorithmus stammt aus Euklids Elementen (ca. 300 v. Chr.) und ist einer der ältesten nicht-trivialen Algorithmen, die noch alltäglich in Gebrauch sind. Die paarweise Reduktion — ggT(a, b, c) = ggT(ggT(a, b), c) — erlaubt eine Erweiterung auf beliebig viele Eingaben ohne Schleifen-Umbau.
Beispielrechnung
- Zahlen: 12, 18, 24
- ggT: ggT(12, 18) = 6, dann ggT(6, 24) = 6 → ggT = 6
- kgV: kgV(12, 18) = 36, dann kgV(36, 24) = 72 → kgV = 72
- 12 × 18 × 24 = 5184. ggT × kgV = 6 × 72 = 432. Die Beziehung a × b = ggT(a,b) × kgV(a,b) verallgemeinert sich sauber nur für zwei Zahlen.
Häufig gestellte Fragen
Wie kürze ich damit einen Bruch?
Den ggT von Zähler und Nenner berechnen und beide durch diesen Wert teilen. Für 18/24: ggT(18, 24) = 6, also 18/24 = (18÷6)/(24÷6) = 3/4. Vollständig gekürzt ist der Bruch, wenn ggT = 1 ist — weiter geht nicht mehr.
Wann brauche ich das kgV?
Vor allem beim Addieren oder Vergleichen von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern — das kgV der Nenner ist der kleinste gemeinsame Nenner. Außerdem nützlich bei Zeitplanproblemen („wann fallen diese beiden Ereignisse wieder zusammen?"), Übersetzungsverhältnissen und der Synchronisation periodischer Vorgänge.
Funktioniert der ggT mit negativen Zahlen oder Null?
Der Rechner entfernt Vorzeichen vor Euklid, daher werden −12 und 12 gleich behandelt. ggT(0, n) wird als |n| definiert, da jede ganze Zahl 0 teilt. Das kgV mit 0 ist konventionell 0 (das einzige gemeinsame Vielfache aller ganzen Zahlen einschließlich 0 ist 0 selbst).