Wie es funktioniert
Eine quadratische Gleichung hat die Form ax² + bx + c = 0 mit a ≠ 0. Das Standardwerkzeug ist die quadratische Lösungsformel, die für jede solche Gleichung funktioniert — egal, ob die Lösungen schöne ganze Zahlen, krumme Dezimalzahlen oder komplexe Werte sind. Drei Koeffizienten eingeben und der Rechner zeigt die Lösungen, die Diskriminante (an der man die Form der Antwort sofort erkennt) und den Scheitelpunkt der Parabel — praktisch zum Zeichnen oder Bestimmen von Extrema.
Die Formel
a, b, c sind die Koeffizienten von x², x¹ und x⁰. Das Vorzeichen der Diskriminante verrät den Lösungstyp: Δ > 0 → zwei verschiedene reelle Lösungen; Δ = 0 → eine doppelte reelle Lösung (die Parabel berührt die x-Achse genau einmal); Δ < 0 → zwei konjugiert komplexe Lösungen (die Parabel kreuzt die x-Achse nicht). Der Scheitelpunkt ist der Wendepunkt der Parabel — Minimum bei a > 0, Maximum bei a < 0.
Beispielrechnung
- x² − 3x + 2 = 0 lösen. Koeffizienten: a = 1, b = −3, c = 2.
- Diskriminante = (−3)² − 4·1·2 = 9 − 8 = 1. Positiv, also zwei reelle Lösungen.
- x = (3 ± √1) / 2 → x₁ = 2, x₂ = 1. Scheitelpunkt bei (1,5; −0,25).
Häufig gestellte Fragen
Was, wenn meine Gleichung keine reellen Lösungen hat?
Bei negativer Diskriminante schneidet die Parabel die x-Achse nicht und die Lösungen sind komplexe Zahlen — Realteil plus oder minus Imaginärteil. Der Rechner gibt sie als a ± bi aus. In Physik- oder Geometrieaufgaben deutet das oft auf ein leicht falsches Modell hin (z. B. wann etwas landen soll, das in Wirklichkeit entweicht); in der reinen Mathematik sind die komplexen Lösungen genau die richtige Antwort.
Warum zeigt der Rechner „Keine quadratische Gleichung" an, wenn ich a = 0 setze?
Mit a = 0 verschwindet der x²-Term und die Gleichung wird linear: bx + c = 0. Die Lösungsformel teilt durch 2a — bei a = 0 funktioniert das nicht. Liegt tatsächlich eine lineare Gleichung vor, einfach direkt lösen: x = −c / b.
Wozu ist die Diskriminante gut?
Eine schnelle Vorab-Auskunft über die Lösungsform. Δ > 0 → zwei reelle Lösungen, Parabel kreuzt die x-Achse zweimal; Δ = 0 → doppelte reelle Lösung (Tangente an die x-Achse); Δ < 0 → komplexe Lösungen (kein Kontakt zur x-Achse). In der Physik beantwortet das Vorzeichen oft direkt eine Ja/Nein-Frage — etwa, ob ein Projektil sein Ziel erreicht — ohne dass man die Wurzeln tatsächlich braucht.
Woher kommt die quadratische Lösungsformel?
Vom „quadratischen Ergänzen". Man teilt ax² + bx + c = 0 durch a und addiert (b/2a)² auf beiden Seiten, sodass die x-Seite ein vollständiges Quadrat wird: (x + b/2a)² = (b² − 4ac) / (4a²). Quadratwurzel ziehen, x isolieren. Die Methode ist in babylonischen Tafeln ab ca. 2000 v. Chr. dokumentiert; die heutige symbolische Form stammt aus der europäischen Algebra des 17. Jahrhunderts.