Wie es funktioniert
Wahrscheinlichkeit quantifiziert, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist, ausgedrückt als Zahl zwischen 0 (unmöglich) und 1 (sicher). Für ein Einzelereignis A ist das Komplement P(nicht A) = 1 − P(A). Bei zwei Ereignissen hängen die Regeln von ihrer Beziehung ab: unabhängig (eines beeinflusst das andere nicht): P(A und B) = P(A) × P(B); ausschließend (können nicht beide eintreten): P(A und B) = 0 und P(A oder B) = P(A) + P(B). Allgemein: P(A oder B) = P(A) + P(B) − P(A und B).
Wahrscheinlichkeit taucht überall auf: Würfel und Karten, Wettervorhersagen („70 % Regen"), Versicherungen, ML, A/B-Tests, Risikomanagement. Die Beziehung zwischen Ereignissen falsch zu verstehen verursacht die meisten realen Fehler. Der „Spielerirrtum" — zu glauben, vergangene Würfe beeinflussen künftige — nimmt Abhängigkeit an, wo keine ist. Der Basisraten-Irrtum bei medizinischen Tests nimmt Unabhängigkeit an, wo keine ist. Sorgfältig prüfen, ob Ereignisse wirklich unabhängig sind.
Quoten sind eine verwandte Ausdrucksform derselben Information: Quote = P / (1 − P). 50 % = 1:1; 80 % = 4:1; 25 % = 1:3. Buchmacher und Statistiker nutzen Quoten, weil Likelihood-Verhältnisse für manche Operationen mathematisch sauberer sind (besonders Bayes). Der Rechner zeigt beide Formen.
Die Formel
P(A) und P(B) sind Wahrscheinlichkeiten zwischen 0 und 1. Unabhängigkeit bedeutet P(A gegeben B) = P(A) — zu wissen, dass B eintrat, ändert die Wahrscheinlichkeit von A nicht. Ausschließung bedeutet A und B können nicht beide eintreten (z. B. gleichzeitig 1 und 6 auf einem Würfel).
Beispielrechnung
- Zwei Münzwürfe, beide Kopf. Unabhängig mit P = 0,5.
- P(beide Kopf) = 0,5 × 0,5 = 0,25 (25 %). P(mindestens ein Kopf) = 0,5 + 0,5 − 0,25 = 0,75.
Häufig gestellte Fragen
Wie erkenne ich, ob Ereignisse unabhängig sind?
Unabhängig heißt: zu wissen, dass ein Ereignis eintrat, gibt keine Information über das andere. Münzwürfe sind unabhängig, weil die Münze kein Gedächtnis hat. Karten ohne Zurücklegen ziehen ist NICHT unabhängig — eine entfernte Karte verändert das Deck. Reale Ereignisse sind oft teilweise korreliert, weshalb naive Unabhängigkeitsannahmen scheitern (z. B. Hypothekenausfälle in Portfolios als unabhängig anzunehmen — sind sie nicht, wie 2008 zeigte).
Was ist der Spielerirrtum?
Zu glauben, dass vergangene Ergebnisse die zukünftigen Wahrscheinlichkeiten unabhängiger Ereignisse beeinflussen. „Schwarz kam 10 Mal hintereinander, jetzt ist Rot fällig!" — falsch, das Rad hat kein Gedächtnis. Jede Drehung ist unabhängig mit derselben 18/37-Chance auf Rot. Der Irrtum gilt für Roulette, Würfel, Münzen und Lotterien. Das Gegenteil — „Hot-Streak"-Denken („Rot kam 5 Mal, es kommt wieder!") — ist genauso falsch. Beide scheitern, weil unabhängige Ereignisse sich nicht selbst korrigieren.