Comment ça marche
Le point milieu d'un segment est le point exactement à mi-chemin entre ses deux extrémités. On le trouve en moyennant les abscisses et les ordonnées des extrémités. Géométriquement, le point milieu divise le segment en deux moitiés égales et se situe sur la médiatrice du segment — l'unique droite perpendiculaire passant par le milieu.
Les points milieux apparaissent partout. En géométrie analytique, ils servent à trouver centroïdes de polygones, centres circonscrits de triangles et centres de cercles définis par trois points. En graphisme et jeux vidéo, ils sont utilisés dans les algorithmes de subdivision (courbes de Bézier, raffinement de maillage). En statistique, la médiane se définit comme le point milieu des deux valeurs centrales quand n est pair. En planification, « où on se retrouve à mi-chemin ? » est littéralement une question de point milieu.
La calculatrice se généralise naturellement aux dimensions supérieures : en 3D, moyennez les trois coordonnées ; en n-D, moyennez chacune. La même formule fonctionne pour des points milieux pondérés si vous voulez favoriser une extrémité, mais cet outil donne le milieu standard à poids égaux.
La formule
(x₁, y₁) et (x₂, y₂) sont les extrémités. Le point milieu standard correspond au poids w = 0,5 dans la forme pondérée. En 3D, ajoutez un terme z ; en dimensions supérieures, moyennez chaque coordonnée séparément.
Exemple de calcul
- Point milieu entre (1, 2) et (4, 8).
- x_mid = (1 + 4) / 2 = 2,5 ; y_mid = (2 + 8) / 2 = 5. Point milieu = (2,5 ; 5).
- En 3D entre (0, 0, 0) et (4, 6, 10) : point milieu = (2, 3, 5).
Questions fréquentes
Le point milieu est-il toujours dans le segment ?
Oui — le point milieu est par définition le point au paramètre 0,5 le long du segment d'une extrémité à l'autre. Il est exactement sur le segment, à mi-chemin. D'autres points intérieurs existent (à un tiers du chemin par ex.) mais ne s'appellent pas point milieu.
Comment trouver le centroïde d'un triangle ?
Les triangles n'ont pas un point milieu unique — mais ils ont un centroïde (centre de gravité), moyenne des trois sommets : ((x₁+x₂+x₃)/3, (y₁+y₂+y₃)/3). Même idée que le point milieu du segment mais avec trois points. Le centroïde est aussi le point d'intersection des trois médianes.
Puis-je trouver un point à 1/3 ou 2/3 du chemin ?
Oui — utilisez l'interpolation linéaire : point au paramètre t = (x₁ + t·(x₂ − x₁), y₁ + t·(y₂ − y₁)) avec t de 0 (point 1) à 1 (point 2). t = 0,5 donne le milieu ; t = 1/3 donne un tiers du chemin depuis le point 1 ; t = 2/3 donne deux tiers. Base de toute opération « mélanger entre A et B » en graphisme, animation et traitement du signal.