Wie es funktioniert
Jede Gleichung der Form ax² + bx + c = 0 (mit a ≠ 0) lässt sich mit der Mitternachtsformel lösen: x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a. Der Ausdruck unter der Wurzel, b² − 4ac, heißt Diskriminante (Δ) und verrät die Art der Lösungen, bevor man fertig rechnet. Δ > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen. Δ = 0: eine doppelte reelle Lösung (die Parabel berührt die x-Achse in einem Punkt). Δ < 0: konjugiert komplexe Lösungen a ± bi (die Parabel schneidet die x-Achse nicht). Der Rechner behandelt alle drei Fälle und liefert zusätzlich den Scheitelpunkt der Parabel bei x = −b/(2a) — Maximum (a < 0) oder Minimum (a > 0). Der Scheitel liegt auf der Symmetrieachse, in der Mitte zwischen den beiden Lösungen — nützlich beim Skizzieren oder Optimieren.
Die Formel
a, b, c — die Koeffizienten von x², x und der Konstanten. Der Leitkoeffizient a darf nicht 0 sein (sonst ist die Gleichung linear, nicht quadratisch). Das ±-Zeichen liefert beide Lösungen in einem Ausdruck — + für x₁ und − für x₂. Bei Δ < 0 ist die Wurzel imaginär, geschrieben als i·√|Δ|, und die beiden Lösungen bilden ein konjugiert komplexes Paar.
Beispielrechnung
- Löse x² − 3x + 2 = 0 → a = 1, b = −3, c = 2.
- Δ = (−3)² − 4 · 1 · 2 = 9 − 8 = 1. Δ > 0 → zwei verschiedene reelle Lösungen.
- x = (3 ± 1) / 2 → x₁ = 2, x₂ = 1.
- Scheitel bei x = −b/(2a) = 3/2 = 1,5; y = (1,5)² − 3(1,5) + 2 = −0,25.
Häufig gestellte Fragen
Was, wenn a = 0 ist?
Dann ist es keine quadratische Gleichung mehr — sie reduziert sich auf bx + c = 0, eine lineare Gleichung mit der einzigen Lösung x = −c/b (vorausgesetzt b ≠ 0). Die Mitternachtsformel versagt, weil man durch 2a = 0 teilen müsste. Der Rechner erkennt das und zeigt eine Fehlermeldung. Bei einem wirklich linearen Problem einfach von Hand umstellen: c subtrahieren, durch b teilen.
Wie lese ich die komplexen Lösungen bei Δ < 0?
Sie werden in der Form a + bi (oder a − bi) geschrieben, mit a als Realteil, b als Imaginärteil und i = √(−1). Die beiden Lösungen sind stets konjugiert: gleicher Realteil, entgegengesetztes Vorzeichen im Imaginärteil. Beispiel: Bei Δ = −16 ergibt sich x₁ = 1 + 2i und x₂ = 1 − 2i. Geometrisch liegt die Parabel komplett oberhalb (oder komplett unterhalb) der x-Achse — sie schneidet sie nicht, kein reelles x erfüllt die Gleichung, aber zwei komplexe Zahlen tun es.
Warum zeigt der Rechner auch den Scheitelpunkt?
Weil die meisten quadratischen Aufgaben gar nicht „finde x mit y = 0" lauten, sondern es um die Form der Kurve geht. Der Scheitel ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel und taucht überall auf: maximaler Gewinn (a < 0), minimale Kosten (a > 0), Wurfhöhe eines Balls, optimaler Verkaufspreis. Er liegt stets auf der Symmetrieachse x = −b/(2a) — genau in der Mitte zwischen den reellen Lösungen, wenn welche existieren. Scheitel zeigt das Extremum, Diskriminante zeigt, ob die Kurve die x-Achse schneidet, Lösungen sagen wo.
Und die scheinbar einfachere Methode der Faktorisierung?
Faktorisieren klappt perfekt bei rationalen, „schönen" Lösungen — x² − 5x + 6 wird ganz offensichtlich (x − 2)(x − 3), Lösungen 2 und 3 in Sekunden. Bei irrationalen (√2 oder 1 + √3) oder komplexen Lösungen scheitert es. Die Mitternachtsformel ist das universelle Sicherheitsnetz: sie liefert die Antwort, egal wie hässlich. Faustregel: Zahlen sehen klein und sauber aus → Faktorisieren versuchen, sonst Formel. Der Rechner spart sich das Raten und nimmt immer die Formel.