Wie es funktioniert
Der Satz des Pythagoras besagt: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist das Quadrat der Hypotenuse (c — die Seite gegenüber dem rechten Winkel) gleich der Summe der Quadrate der beiden Katheten (a und b). Er gilt nur für Dreiecke mit einem 90°-Winkel — die gibt es aber überall: Gebäudeecken, Bildschirmdiagonalen, eine an die Wand gelehnte Leiter, der Diagonalweg über ein rechteckiges Feld. Aus zwei bekannten Seiten ergibt sich die dritte: c = √(a² + b²) für die Hypotenuse, oder a = √(c² − b²) (analog für b) für eine fehlende Kathete. Der Rechner wählt automatisch die passende Form je nach Unbekannter und gibt zusätzlich Fläche (½ × a × b) und Umfang (a + b + c) aus.
Die Formel
a, b — die Katheten (die beiden Seiten am rechten Winkel). c — die Hypotenuse, gegenüber dem rechten Winkel. Stets die längste Seite. Die Einheiten bleiben durchgängig konsistent: alles in Metern eingeben → Ergebnis in Metern; alles in Zoll → Ergebnis in Zoll. Der Rechner hat keine eigene Einheit.
Beispielrechnung
- Rechtwinkliges Dreieck mit Katheten a = 3 und b = 4. Berechne c.
- a² + b² = 9 + 16 = 25.
- c = √25 = 5. Das klassische 3-4-5-Dreieck.
- Zusatz: Fläche = ½ × 3 × 4 = 6, Umfang = 3 + 4 + 5 = 12.
Häufig gestellte Fragen
Gilt das für jedes Dreieck oder nur für rechtwinklige?
Nur rechtwinklige Dreiecke — der Satz setzt einen 90°-Winkel zwischen a und b voraus. Ohne rechten Winkel braucht es den Kosinussatz (c² = a² + b² − 2ab·cos C), der für C = 90° in Pythagoras übergeht (weil cos 90° = 0). Zum Lösen allgemeiner Dreiecke aus Seiten und Winkeln nutze einen Dreiecksrechner.
Woher weiß ich, welche Seite die Hypotenuse ist?
Zwei Wege. Geometrisch: Die Hypotenuse liegt stets gegenüber dem rechten Winkel, nie an ihm. Über die Länge: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse immer die längste Seite — strikt länger als jede Kathete. Bei drei Messwerten ohne Beschriftung also die größte Zahl als Hypotenuse nehmen. Sind zwei Werte gleich groß und am größten, ist das Dreieck entartet (flach) und kein echtes Dreieck.
Ich rechne ständig falsch, wenn ich eine Kathete suche. Warum?
Zwei typische Fehler. Das Vorzeichen: Beim Suchen einer Kathete wird subtrahiert, nicht addiert — a = √(c² − b²), nicht √(c² + b²). Außerdem muss das kleinere Quadrat vom größeren abgezogen werden: c² − b² (weil c die Hypotenuse und damit größer als b ist). Wer plötzlich die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen müsste, hat meist Hypotenuse und Kathete vertauscht. Prüfen Sie, dass die als c eingegebene Seite wirklich die längste ist.
Was ist ein „pythagoreisches Tripel"?
Eine Menge aus drei positiven ganzen Zahlen, die a² + b² = c² exakt erfüllen — ohne Dezimalen oder Wurzeln. Das kleinste ist (3, 4, 5); weitere bekannte sind (5, 12, 13), (8, 15, 17) und (7, 24, 25). Vielfache eines Tripels sind ebenfalls Tripel: (6, 8, 10) ist 2 × (3, 4, 5). Auf der Baustelle nutzt man 3–4–5, um ohne Winkel exakte rechte Winkel anzulegen: 3 entlang einer Kante abtragen, 4 entlang der anderen, dann justieren, bis die Diagonale exakt 5 misst.