Wie es funktioniert
Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen 90°-Winkel. Die zwei Seiten, die sich in diesem Winkel treffen, sind die Katheten (a und b); die dem rechten Winkel gegenüberliegende Seite ist die Hypotenuse (c) und immer die längste. Aus zwei beliebigen dieser Werte — zwei Katheten, Kathete und Hypotenuse, oder ein spitzer Winkel plus eine Seite — kann man alles andere mit dem Satz des Pythagoras und Grundtrigonometrie lösen.
Die Schlüsselbeziehungen: a² + b² = c² (Pythagoras); sin(A) = Gegenkathete/Hypotenuse = b/c; cos(A) = Ankathete/Hypotenuse = a/c; tan(A) = Gegenkathete/Ankathete = b/a. SOH-CAH-TOA fasst alle drei trigonometrischen Verhältnisse zusammen. Mit einem bekannten spitzen Winkel ist der andere 90° minus diesen (Winkelsumme 180°). Fläche ist (1/2) × a × b — halb so groß wie das Rechteck, das die beiden Katheten bildeten.
Real-world-Probleme mit rechtwinkligen Dreiecken sind überall. Dachneigungen, Rampensteigungen, Leiterplatzierung, Entfernung von einem festen Beobachter, Vermessung mit Theodoliten, Sichtnavigation — alle reduzieren sich auf „ich habe diese zwei Werte, was sind die anderen?". Dieser Rechner behandelt sowohl den Pythagoras-Fall (nur Seiten) als auch den Trigonometrie-Fall (Winkel plus Seite), sodass man nicht erinnern muss, welche Formel wohin gehört.
Die Formel
a ist die Ankathete von Winkel A. b ist die Gegenkathete von Winkel A. c ist die Hypotenuse (gegenüber dem 90°-Winkel). Winkel A und B sind die zwei spitzen Winkel, ihre Summe ist 90°. Inverse Trigfunktionen (asin, acos, atan) gewinnen Winkel aus Seitenverhältnissen zurück.
Beispielrechnung
- Gegeben a = 3, b = 4. Finde c, Winkel, Fläche.
- c = √(9+16) = 5. tan(A) = 4/3 → A = 53,13°. B = 36,87°. Fläche = (1/2)(3)(4) = 6.
Häufig gestellte Fragen
Warum braucht der Rechner genau zwei Werte?
Ein rechtwinkliges Dreieck hat 5 Unbekannte (3 Seiten, 2 spitze Winkel) und 3 bekannte Bedingungen (ein 90°-Winkel, Pythagoras, A + B = 90°). Das lässt 2 Freiheitsgrade — zwei Werte fixieren und alles andere ist bestimmt. Mit nur einem Wert ist das Dreieck unterbestimmt (unendlich viele Formen möglich); mit drei oder mehr riskiert man Überbestimmung (Eingaben könnten inkonsistent sein).
Wie finde ich die Höhe eines Baums mit einem rechtwinkligen Dreieck?
Stellen Sie sich in einer bekannten Distanz zum Baum auf (Ankathete, a). Messen Sie den Höhenwinkel zur Spitze — Smartphone-Klinometer-App oder Winkelmesser mit Lot. In tan(Winkel) = Höhe / Distanz einsetzen, also Höhe = Distanz × tan(Winkel). Augenhöhe für die Gesamthöhe addieren. Gleicher Trick für Gebäude, Türme, Klippen — alles, was zu hoch ist für direkte Messung.