Wie es funktioniert
Die Steigung einer Geraden misst, wie steil sie ansteigt oder abfällt — die Änderung von y pro Einheitsänderung von x. Bei zwei Punkten (x₁, y₁) und (x₂, y₂) ist die Steigung der Höhenunterschied (y₂ − y₁) geteilt durch die Strecke (x₂ − x₁). Positive Steigung: steigt von links nach rechts; negative: fällt; null: horizontal; undefiniert (wenn x₁ = x₂): vertikal. Dasselbe Konzept, ob man es im Algebra-Unterricht „rise over run", in der Physik „Gradient" oder in der Analysis „Änderungsrate" nennt — es beantwortet immer „wie schnell ändert sich y, wenn x steigt?".
In der Praxis taucht Steigung überall auf. Ingenieure spezifizieren ein Straßengefälle als Prozent-Steigung (6 % = Steigung 0,06). Dachdecker beschreiben das Gefälle als Höhenunterschied pro 12 Zoll. Statistiker passen eine Regressionsgerade an und melden ihre Steigung als Koeffizient von x. In der Ökonomie zeigt die Steigung einer Nachfragekurve, wie sich der Preis pro Mengeneinheit ändert. Die Mathematik ist identisch; nur Einheiten und Interpretation unterscheiden sich.
Dieser Rechner liefert vier Dinge auf einmal: Steigung, Abstand zwischen den Punkten (Pythagoras auf dx und dy angewendet), Mittelpunkt und Geradengleichung in der Form y = mx + b (mit b aus y₁ = mx₁ + b). Vertikale Geraden werden separat markiert, da sie keine Steigungs-Achsenabschnitts-Form haben — die Gleichung ist einfach x = Konstante.
Die Formel
(x₁, y₁) und (x₂, y₂) sind die zwei Punkte. m ist die Steigung. b ist der y-Achsenabschnitt (y-Wert, an dem die Gerade die y-Achse schneidet). Bei x₂ = x₁ ist die Steigung undefiniert und die Gerade vertikal.
Beispielrechnung
- Steigung zwischen (1, 2) und (4, 8) finden.
- Steigung = (8 − 2) / (4 − 1) = 6 / 3 = 2.
- Abstand = √(3² + 6²) = √45 ≈ 6,71. Mittelpunkt = (2,5; 5). Gleichung: b = 2 − 2·1 = 0, also y = 2x.
Häufig gestellte Fragen
Was bedeutet eine negative Steigung?
Die Gerade fällt von links nach rechts — y nimmt ab, wenn x zunimmt. Steigung −2 bedeutet: y fällt um 2 Einheiten pro 1 Einheit Anstieg von x. Spiegelbild einer positiven Steigung.
Warum ist die Steigung bei vertikalen Geraden undefiniert?
Eine vertikale Gerade hat in jedem Punkt dieselbe x-Koordinate, also x₂ − x₁ = 0, und die Steigungsformel teilt durch null. Geometrisch ist „Höhe durch null Strecke" unendlich — die Gerade verläuft senkrecht ohne horizontale Änderung. Sie wird als x = Konstante geschrieben, nicht als y = mx + b.
Wie hängt Steigung mit Winkel zusammen?
Steigung gleich tan(θ), wobei θ der Winkel der Geraden zur Horizontalen ist. Eine 45°-Gerade hat Steigung 1; 30° ≈ 0,577; 60° ≈ 1,732. Umrechnung Steigung → Winkel: θ = arctan(Steigung). Nützlich für Rampen, Dachneigungen und jede „Welcher Winkel ist das?"-Frage.