Cómo funciona
La fórmula de la distancia da la distancia en línea recta («euclidiana») entre dos puntos en un plano 2D. Sale directamente del teorema de Pitágoras aplicado al triángulo rectángulo cuyos catetos son el cambio horizontal (x₂ − x₁) y el vertical (y₂ − y₁): la hipotenusa diagonal es la distancia buscada. Elevar al cuadrado anula las diferencias negativas, y la raíz cuadrada devuelve la respuesta a las mismas unidades de las coordenadas.
Se generaliza trivialmente a dimensiones superiores. En 3D, distancia = √(dx² + dy² + dz²); en n dimensiones, suma las diferencias al cuadrado en todas las coordenadas y saca la raíz. Por eso la «distancia euclidiana» es la medida de similitud por defecto en aprendizaje automático y estadística cuando tienes vectores de características — es solo la versión multidimensional de la misma fórmula. Existen otras métricas (Manhattan, Chebyshev, coseno) para casos específicos, pero euclidiana es lo que la gente quiere decir cuando dice «distancia» sin precisar.
Matices del mundo real: si tus coordenadas son latitud/longitud, la distancia euclidiana plana es incorrecta porque la Tierra es curva — usa la fórmula de haversine, que tiene en cuenta la longitud del arco sobre una esfera. A escala urbana de unos kilómetros el error es pequeño; a cientos de kilómetros la euclidiana subestima notablemente la distancia geodésica real. Lo mismo aplica a cualquier superficie curva (un globo, un mapa de contornos, un mundo de videojuego con terreno).
La fórmula
(x₁, y₁) y (x₂, y₂) son los dos puntos. Elevar al cuadrado elimina el signo, así que la fórmula funciona sin importar cuál tomes como «primero». La distancia es siempre no negativa; vale cero solo si los puntos son idénticos.
Ejemplo de cálculo
- Distancia entre (1, 2) y (4, 8).
- dx = 4 − 1 = 3, dy = 8 − 2 = 6. d = √(9 + 36) = √45 ≈ 6,708.
- Para (2, 3, 5) y (5, 7, 9) en 3D: d = √(3² + 4² + 4²) = √41 ≈ 6,403.
Preguntas frecuentes
¿Importa el orden de los puntos?
No. Como las diferencias se elevan al cuadrado, (x₂ − x₁)² y (x₁ − x₂)² son iguales. La distancia de A a B siempre equivale a la de B a A — propiedad de simetría de cualquier métrica de distancia válida.
¿Qué diferencia hay con desplazamiento o longitud de arco?
La distancia (esta fórmula) es una recta — el camino más corto posible. El desplazamiento es un vector con magnitud (la distancia) y dirección. La longitud de arco es la distancia a lo largo de una curva; siempre ≥ la distancia en línea recta, igual solo si la curva es recta. La distancia de viaje real («¿cuánto conduje?») es longitud de arco siguiendo la red de carreteras, no distancia en línea recta.
¿Sirve para latitud/longitud en la Tierra?
En realidad no. Las coordenadas lat/lon viven en una esfera curva, así que la distancia euclidiana plana es incorrecta, especialmente en distancias largas. Usa la fórmula de haversine, que calcula el arco de gran círculo en una esfera. En distancias cortas (pocos km dentro de una ciudad) el error es despreciable; a cientos de km, la euclidiana subestima notablemente.