使い方
ax² + bx + c = 0 という形（a ≠ 0）の方程式は、解の公式 x = (−b ± √(b² − 4ac)) / 2a で必ず解けます。平方根の中の式 b² − 4ac は「判別式」（Δ）と呼ばれ、解の種類を計算前に判定できます。Δ ＞ 0 なら異なる2つの実数解、Δ ＝ 0 なら重解（実数の重根、放物線が x 軸に接する）、Δ ＜ 0 なら互いに共役な複素数解 a ± bi（放物線は x 軸と交わりません）。本ツールはこれら3ケースに対応し、さらに放物線の頂点 x ＝ −b/(2a) も計算します（a ＜ 0 なら最大値、a ＞ 0 なら最小値）。頂点は対称軸上にあり、2つの解のちょうど中点に位置します。グラフ描画や最適化問題に役立ちます。
計算式
a・b・c は、それぞれ x²、x、定数項の係数。最高次の係数 a は 0 以外でなければなりません（0 だと一次方程式になります）。式中の ± は2つの解を1本の式で表しており、+ が x₁、− が x₂ に対応します。Δ ＜ 0 のときは平方根が虚数となり、i·√|Δ| と書きます。2つの解は互いに共役な複素数の組になります。
計算例
- x² − 3x + 2 ＝ 0 を解く → a ＝ 1、b ＝ −3、c ＝ 2。
- Δ ＝ (−3)² − 4 × 1 × 2 ＝ 9 − 8 ＝ 1。Δ ＞ 0 なので異なる2つの実数解。
- x ＝ (3 ± 1) ÷ 2 → x₁ ＝ 2、x₂ ＝ 1。
- 頂点 x ＝ −b/(2a) ＝ 3/2 ＝ 1.5、y ＝ (1.5)² − 3(1.5) + 2 ＝ −0.25。
よくある質問
a が 0 のときはどうなりますか？
その場合は二次方程式ではなくなり、bx + c ＝ 0 という一次方程式になります。解は x ＝ −c/b（ただし b ≠ 0）の1つだけ。解の公式では 2a ＝ 0 で割ることになるため使えません。本ツールはこの状況を検知してエラーを表示します。本当に一次方程式を解きたい場合は、手で c を移項して b で割れば求まります。
Δ ＜ 0 のときの複素数解はどう読めばいいですか？
複素数解は a + bi（または a − bi）の形で表します。a が実部、b が虚部、i は虚数単位 √(−1) です。2つの解は必ず互いに共役の関係にあり、実部は同じで虚部だけ符号が逆になります。たとえば Δ ＝ −16 で x₁ ＝ 1 + 2i なら x₂ ＝ 1 − 2i です。図形的には、放物線が x 軸の完全に上（または完全に下）にある状態で x 軸と交わらず、実数の x では方程式を満たせませんが、複素数なら2つの解が存在します。
なぜ頂点まで表示するのですか？
二次方程式の応用では、「y ＝ 0 となる x を求める」ことよりも「曲線の形」を知ることのほうが多いためです。頂点は放物線の最高点または最低点で、最大利益（a ＜ 0）、最小コスト（a ＞ 0）、ボールが届く最大の高さ、商品の最適価格など、あらゆる場面で使われます。頂点は常に対称軸 x ＝ −b/(2a) 上にあり、実数解が存在するときはちょうどその2つの解の中点になります。つまり「頂点で極値が分かる」「判別式で x 軸と交わるかが分かる」「解で交わる場所が分かる」と整理できます。
見た目がシンプルな因数分解で解く方法はどうなのですか？
因数分解は、解が「きれいな有理数」になるときには非常に強力です。たとえば x² − 5x + 6 ＝ (x − 2)(x − 3) と一目で因数分解でき、解 2 と 3 が即座に求まります。しかし、解が無理数（√2 や 1 + √3 など）や複素数になると因数分解では対応できません。解の公式は万能の保険で、どんなに汚い数字でも解を出してくれます。実用的には「数字が小さくきれいに見えるなら因数分解を試し、ダメなら解の公式に切り替える」のが定石です。本ツールは推測を省き、常に解の公式を使って計算しています。